Teorema di Lagrange

1. Enunciato del Teorema di Lagrange

Sia $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$

Se sono verificate le seguenti ipotesi:

1. $f$ è continua nell’intervallo chiuso $[a, b]$
2. $f$ è derivabile nell’intervallo aperto $(a, b)$

allora esiste almeno un punto $x_0 \in (a, b)$ tale che: $f'(x_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

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Interpretazione geometrica

Il teorema afferma che esiste almeno un punto in cui la retta tangente al grafico della funzione è parallela alla retta secante che unisce i punti
$(a, f(a))$ e $(b, f(b))$.

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2. Schema per applicare il teorema

Quando devi applicare il Teorema di Lagrange, segui sempre questi passaggi:

1. Individua l’intervallo $[a, b]$
2. Controlla il dominio della funzione
3. Verifica la continuità in $[a, b]$
4. Verifica la derivabilità in $(a, b)$
5. Calcola il rapporto incrementale $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
6. Uguaglia il risultato alla derivata
7. Risolvi l’equazione per trovare $x_0$

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3. Esempi

3.1 Esempio 1

Verificare se si può applicare il Teorema di Lagrange alla funzione $y = \sqrt[]{|x|} - 3$ nell’intervallo $[0, 4]$ ed eventualmente trovare le ascisse dei punti garantiti dal teorema.

1. Dominio e continuità

La funzione:

• $|x|$ è definito per ogni $x \in \mathbb{R}$
• $\sqrt[]{|x|}$ è definita e continua per ogni $x \in \mathbb{R}$

👉 La funzione è continua in $[0, 4]$

2. Derivabilità

Per $x > 0$ vale: $f(x) = \sqrt[]{x} - 3 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt[]{x}}$

La funzione non è derivabile in $x = 0$, ma il Teorema di Lagrange richiede la derivabilità solo in $(a, b)$.

👉 La funzione è derivabile in $(0, 4)$

Il teorema è applicabile

3. Calcolo del rapporto incrementale

$f(4) = \sqrt[]{4} - 3 = 2 - 3 = -1$ $f(0) = \sqrt[]{0} - 3 = -3$

$\frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = \frac{-1 - (-3)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

4. Uguagliamo alla derivata

$\frac{1}{2\sqrt[]{x}} = \frac{1}{2}$

Moltiplichiamo per 2: $\frac{1}{\sqrt[]{x}} = 1$

$\sqrt[]{x} = 1 \Rightarrow x = 1$

Conclusione Il punto garantito dal Teorema di Lagrange ha ascissa: $\boxed{x_0 = 1}$

3.2 Esempio 2

Verificare se si può applicare il Teorema di Lagrange alla funzione $y = x^2 + 2\sqrt[]{x}$ nell’intervallo $[-1, \sqrt[]{3}]$.

1. Dominio

La funzione contiene $\sqrt[]{x}$, quindi è definita solo per: $x \ge 0$

L’intervallo assegnato $[-1, \sqrt[]{3}]$ contiene valori negativi.

❌ La funzione non è definita in tutto l’intervallo ❌ Non è continua in $[a, b]$

Conclusione

Il Teorema di Lagrange non è applicabile perché non è verificata l’ipotesi di continuità sull’intero intervallo.